Algoritmo que receba o nome de 10 pessoas e verifique se o nome Fernanda está entre eles

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Para verificar se uma String tem o mesmo conteúdo que outra, você deve usar o método equals, ou seja, umaString.equals( outraString ). Esse método retornará verdadeiro caso as duas tenham o mesmo conteúdo (diferenciando letras maiúsculas de minúsculas) ou falso caso contrário.

Para o seu caso, basta percorrer o array de nomes e verificar posição por posição.

for ( int i = 0; i < nomes.length; i++ ) {
    if ( nomes[i].equals( "Fernanda" ) ) {
        JOptionPane.showMessageDialog( "O nome Fernanda foi encontrado na posição " + i ); 
    }
}

Uma outra forma de fazer isso seria usando o "for melhorado":

for ( String nome : nomes ) {
    if ( nome.equals( "Fernanda" ) ) {
        System.out.println( "Nome Fernanda encontrado..."  );
    }
}

Esse for serve para percorrer estruturas iteráveis como os arrays. Para fazer um paralelo com o for tradicional, o código acima seria escrito assim:

for ( int i = 0; i < nomes.length; i++ ) {
    String nome = nomes[i];
    if ( nome.equals( "Fernanda" ) ) {
        System.out.println( "Nome Fernanda encontrado..."  );
    }
}

Ou seja, a cada elemento visitado, nome recebe o valor desse elemento e pode então ser usado.

Várias coisas podem ser observadas no seu código, mas a que me mais me saltou aos olhos é o uso de um valor numérico na posição de uma constante na invocação de showMessageDialog. Não sei quem te ensinou isso, pq apesar de funcionar, à rigor, está errado. O correto é usar o valor expresso em uma das constantes contidas na classe JOptionPane para indicar o tipo de diálogo de mensagem. O que eu quero dizer é que isso:

JOptionPane.showMessageDialog(null, "Só são permitidas 15 letras.", "Atenção!", 0 );

Deveria ser isso:

JOptionPane.showMessageDialog(null, "Só são permitidas 15 letras.", "Atenção!", JOptionPane.ERROR_MESSAGE );

Sendo que as constantes que devem ser usadas como argumento no quarto parâmetro do método são:

• JOptionPane.ERROR_MESSAGE
• JOptionPane.INFORMATION_MESSAGE
• JOptionPane.WARNING_MESSAGE
• JOptionPane.QUESTION_MESSAGE
• JOptionPane.PLAIN_MESSAGE

Caso não tenha entendido a utilidade do uso de cada constante é que imagine, você não tem garantia ALGUMA que 0 indica uma mensagem de erro. Pode ser que em outra implementação do Swing a mensagem de erro seja talvez o valor -10 ou qualquer outro inteiro. Quando fixamos o uso nas constantes definidas nas APIs, temos certeza que, independente da implementação, o comportamento do componente será condizente com o que é fornecido programaticamente.

A definição dessas constantes no código fonte da classe JOptionPane vc pode ver no link a seguir, entre as linhas 368 e 376.

Gratidão, muito obrigado por todo tempo desprendido e pela atenção.