ES6, ES7... Qual a especificação que realmente está valendo?

Ambas, assim como ES5. Depende exatamente de cada recurso implementado de uma época ou outra e o que você vai precisar de fato. Claro que quando tiver algum recurso melhorado você pode passar a usar. Mas não é porque incluiram Classes que vou passar a usar classes sem precisar.

O ES8 foi lançado ano passado certo? Mas tipo, como tá a implementação? A especificação já foi implementada por todo mundo ou a maioria?

Não sei, tem que pesquisar. Exemplo: http://kangax.github.io/compat-table/es2016plus/