Ola,
Primeiro vc vai ter que definir alguns atributos no seus controles, botoes e textbox, para manter nao alterar o id. Talvez isso nao importe muito se vc nao esta usando master pages, mas se vc estiver, o id dos controles vao mudar, por exemplo:
<asp:Content ID="HeaderContent" runat="server" ContentPlaceHolderID="HeadContent">
</asp:Content>
<asp:Content ID="BodyContent" runat="server" ContentPlaceHolderID="MainContent">
<asp:TextBox ID="textBox" runat="server" ClientIDMode="Static" />
<asp:Button ID="Button1" Text="Button1" runat="server" onclick="Button1_Click" />
<asp:Button ID="Button2" Text="button2" runat="server" onclick="Button2_Click" />
</asp:Content>
Examinando o HTML depois da renderizacao, vc vai perceber que os IDs esta da seguinte forma, repare que o nome do Content vai ser
adicionado ao ID.
<input id="MainContent_Button1" type="submit" value="Button1" name="ctl00$MainContent$Button1">
<input id="MainContent_Button2" type="submit" value="button2" name="ctl00$MainContent$Button2">
Se vc adicionar o atributo ClientIDMode=“Static” para cada controle e examinar o DOM node novamente vc tera:
<input id="Button1" type="submit" value="Button1" name="ctl00$MainContent$Button1">
<input id="Button2" type="submit" value="button2" name="ctl00$MainContent$Button2">
Muito mais facil para fazer pequisas usando JQuery. Bom agora vamos a parte divertida! 
O seu codigo javascript vai ficar assim:
<script type="text/javascript" src="Scripts/jquery-1.4.1.min.js"></script>
<script type="text/javascript" >
$(document).ready(function () {
var KEY_ENTER = 13;
$("#textBox").keypress(function (key) {
if (key.keyCode == KEY_ENTER) {
$("#Button2").trigger('click');
}
});
});
</script>
O codigo faz o seguinte, quando uma tecla for pressionada no textbox, vai chamar essa funcao anonima e vai testar se a tecla pressionada eh 13 (codigo para ENTER). Se for ENTER vai disparar o evento click no botao de ID = Button2 (poderia ser qualquer um que vc escolher).
Vale lembrar que para fazer isso vc vai ter que mudar o atributo AutoEventWireup na tag Page para False : AutoEventWireup=“false”.
Dessa forma, voce sera responsavel por conectar os eventos nos controles web do seu webform.
Ai vai o codigo, completo:
Default.aspx
<%@ Page Title="Home Page" Language="C#" MasterPageFile="~/Site.master" AutoEventWireup="false"
CodeBehind="Default.aspx.cs" Inherits="WebApplication3._Default" %>
<asp:Content ID="HeaderContent" runat="server" ContentPlaceHolderID="HeadContent">
</asp:Content>
<asp:Content ID="BodyContent" runat="server" ContentPlaceHolderID="MainContent">
<script type="text/javascript" src="Scripts/jquery-1.4.1.min.js"></script>
<script type="text/javascript" >
$(document).ready(function () {
var KEY_ENTER = 13;
$("#textBox").keypress(function (key) {
if (key.keyCode == KEY_ENTER) {
$("#Button2").trigger('click');
}
});
});
</script>
<asp:TextBox ID="textBox" runat="server" ClientIDMode="Static" />
<asp:Button ID="Button1" Text="Button1" ClientIDMode="Static" runat="server" onclick="Button1_Click" />
<asp:Button ID="Button2" Text="button2" ClientIDMode="Static" runat="server" onclick="Button2_Click" />
</asp:Content>
Default.aspx.cs (Code behind)
using System;
namespace WebApplication3
{
public partial class _Default : System.Web.UI.Page
{
protected void Page_Load(object sender, EventArgs e)
{
}
protected void Button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
Response.Write("button 1 clicked");
}
protected void Button2_Click(object sender, EventArgs e)
{
Response.Write("button 2 clicked");
}
}
}
Espero ter ajudado! 
//Daniel